惑星探査機

数学のこととか

Hartshorne Ex.ii.6.11

(a)  \mathrm{Div}(X) \to \mathrm{K}(X) なる射が作れるが, これが principal divisor を消すかが問題となる. ここで基本的な観察として, divisor  D_1 \leq D_2 について,  \mathcal{L}(D_2)/\mathcal{L}(D_1) は skyscraper sheaf になっていることに気付くと,  [\mathcal{O}_X/\mathcal{L}(D)\ - \[\mathcal{L}*1/\mathcal{L}(D)\]] として [tex: *2] の行き先は実現できるため, よい.

(b) affine のレベルに制限すると, homotopy により同型射が作れることに気付くが, さらに行列計算によってこの同型射が homotopy に依らず決まるということに気づけば, 同型ははりあい, 大域的な同型が構成できる. 行列計算は, section もみてあげればいい.

(c)  \mathcal{F} を捻れば大域切断で生成される.  \mathcal{F} の生成点での基底をとってあげれば, あとは  \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{F} の kernel をみるだけだが Dedekind 環の加群論で終わる.

(d) obvi.

*1:f

*2:f