複素関数論 - (1) - 惑星探査機

Rouché の定理

$C$ を閉 Jordan 曲線とする. このとき, $C$ の内部で holomorphic な関数 $f$ , $g$ について $C$ 上で $g \lt f$ ならば, $f$ と $f + g$ について, これらの $C$ の内部での零点の個数はおなじである.

このことの説明をおこなうと, あきらかに $f(C)$ と $(f + g)(C)$ は原点を通らないホモトピーでつなぐことができる. このとき, $\int_{f(C)} \frac{1}{z} \mathrm{d}z$ は $f$ の $C$ の内部での零点の個数をあらわす. $f + g$ についても同様であり, よって示された.

開写像原理

$f$ の零点 $a$ について, $a$ の周りには零点がない. よって, $a$ をとりかこむ $C$ であって $|f(C)| \gt R$ なる $R$ が存在する. このとき Rouché 定理より $f$ をいくらか摂動させても零点はあり続ける. よって $f$ は open.