2023-01-31

Jordan 標準形

実は最近まで Jordan 標準形というのがなんなのかわかっていなかった. ただ要は行列のデータを k[T]-module のデータとよみかえ, PID 上有限生成加群の構造定理を実行したものがまさに Jordan 標準形の理論と対応するという理解を得た.

関数解析的なフレームワークでみればスペクトルという言葉になるらしい. この言葉付近に関してまだ透明な理解をもってはいない.

2022-12-30

smooth curve の genus の計算

Riemann-Hurwitz の定理より, 具体的な meromorphic function $X \to \mathbb{P}^1$ をとり, あとはその分岐点の分岐度を計算すれば曲線の種数が計算できる.

2022-12-29

genus 1 curve = elliptic curve

genus $1$ の closed Riemann surface $X$ について, $3 \cdot [0]$ は very ample であることが Riemann-Roch と very ampleness の判定法により示されるが, $\Gamma(X, \mathcal{L}(3 \cdot [0]))$ の基底として $1, \wp, \wp'$ を得ることができるため, $z \mapsto (1: \wp(z), \wp'(z))$ は $X$ から $\mathbb{P}^2$ への埋込を構成する. これは $3$ 次代数曲線として切り出される.

2022-12-15

複素関数論 - (3)

Schwarz lemma

シュワルツの補題について, $f$ を $\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ なる原点を保つ複素関数とすると, $\frac{f(z)}{z}$ に最大値原理を用いればこれは絶対値が $1$ 以下であるため示される.

Hadamard three-circle theorem

よくわからない計算と最大値原理.

2022-12-15

複素関数論 - (2)

特異点の分類

円環領域において Laurent 展開が可能であることを思い出すと, 負冪部分の係数の分布によって, 特異点についてこれらを

除去可能特異点
極
真性特異点

に分類することができる.

Casorati-Weierstrass theorem

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理について. 真性特異点のまわりで無限点の近くをあまり通らないとすると, 有界であるため除去可能となる. 無限と有限の区別はここにはないため, 示される.

2022-12-15

複素関数論 - (1)

Rouché の定理

$C$ を閉 Jordan 曲線とする. このとき, $C$ の内部で holomorphic な関数 $f$ , $g$ について $C$ 上で $g \lt f$ ならば, $f$ と $f + g$ について, これらの $C$ の内部での零点の個数はおなじである.

このことの説明をおこなうと, あきらかに $f(C)$ と $(f + g)(C)$ は原点を通らないホモトピーでつなぐことができる. このとき, $\int_{f(C)} \frac{1}{z} \mathrm{d}z$ は $f$ の $C$ の内部での零点の個数をあらわす. $f + g$ についても同様であり, よって示された.