Matlis 双対とか - 惑星探査機

最近は可換環論では Gorenstein 環の基本的なことをゆっくり勉強していたりする.

先に小咄的なことなんだけど, $(R, \mathfrak{m}, \kappa)$ があったとき, $E_R(\kappa)$ を $\kappa$ の injective hull とする. このとき, $\mathrm{End}(E_R(\kappa))$ って $R$ の完備化と同型だったりする. (証明は簡単で, $E := E_R(\kappa)$ の素因子が $\mathfrak{m}$ しかないから $E = \bigcup E[\mathfrak{m}^n ]$ とかけて, あとは Matlis 双対.)

ところで $\mathrm{Ext}$ 関手のことって, 導来圏で考えたほうが絶対いいんじゃないかって. 実際 Cohen-Macaulay $R$ -加群 $M$ について $M \to \mathrm{Ext}^{d - t}(\mathrm{Ext}^{d - t}(M, E), E)$ みたいな同型があるわけだけれども, よく考えればこの射が自然にあることはわりと自明. 導来圏で自然な構成にみえる射のことを調べるというなら, Gorenstein とか Cohen-Macaulay とかの言葉を圏論的なセッティングにもっていきたくなる.