円分指標 - 惑星探査機

いわれてみればそういうのもある, みたいな構成. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, "Cohomology of Number Fields", VII §3 を参照.

$k$ を体としたとき, $\mu$ を $k$ の代数閉体のなかの unity のなす群とする. $G_k$ を $k$ の絶対 Galois 群とすると, $\mu$ は $G_k$ -加群となるが, $\mathrm{Aut}(\mu)$ は自然に $\prod_{\ell \neq \mathrm{char}(k)} \mathbb{Z}_\ell^\times$ と同型であるため, 円分指標 $\chi_\mathrm{cycl} \colon \prod \mathbb{Z}_\ell^\times$ が得られる.

この指標はすなわち, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と $\mu_n$ のあいだの乖離についてコードしたオブジェである.

$\mathrm{char}(k)$ と互いに素な有限 $G_k$ -加群 $A$ について, 円分指標を用いて捻ったものを Tate twist といい, $A(1)$ と表記することがある.

有限とかいたが副有限あるいは torsion module のクラスで定義できること, あとは捻れが functorial なことは容易に確認できる. ここで, $\mathrm{char}(k) = 0$ のとき, $\hat{\mathbb{Z}}$ の twist $\hat{\mathbb{Z}}(1)$ のことを円分物とよぶ. これは, $\mathrm{lim} \ \mu_n$ なる $G_k$ -加群と同型である. しかしながらこの同型は非標準的なかたちで実現される.