局所体上の cohomology (1)

続編があるかは不明.

局所体 $k$ について $\mathbb{F}_\ell$ の $G_k$ -加群としての $1$ 次 cohomology $\mathrm{H}^1(G_k, \mathbb{F}_\ell)$ の次元は, 実はいくらか数論的な情報を含んでいる.

$\mathbb{F}_\ell$ の $0$ , $2$ 次の cohomology については easily に計算できる ( $2$ 次の場合は duality を使う). また, Euler-Poincaré 標数に関する基本的な理論を用いれば, ここから $1$ 次の cohomology の大きさを計算できる.

[NSW, Corollary 7.3.9] の内容は以下の通り: $\mathrm{dim}_{\mathbb{F}_\ell}(\mathrm{H}^1(G_k, \mathbb{F}_\ell)) = 1 + \delta + \theta$ . ただし, $\delta$ は, $\mu_\ell \subset k$ のとき $1$ で, そうでなければ $0$ である. また, $\theta$ は, $\ell = p$ (これは $k$ の標数が $0$ であることを含意する) のとき $[k \colon \mathbb{Q}_p]$ で, そうでなければ $0$ である.